close

Limit Fungsi Trigonometri

Limit Fungsi Trigonometri – Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar menentukan nilai limit melalui perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik limit, yaitu dengan menggunakan teorema limit kiri-limit kanan. Apakah kalian masih ingat? Mari kita ingat kembali teorema tersebut.

Teorema Limit Kiri-Limit Kanan

Misalkan fungsi f (x) didefinisikan di sekitar x = c, maka limxcf(x)=L jika dan hanya jika limxcf(x)=L=limxc+f(x)=L. limxcf(x)=L biasa disebut limit kiri dan limxc+f(x)=L biasa disebut limit kanan.

Dengan teorema ini, coba tentukan limx0sinxx.

Nilai-nilai f(x)=sinxx untuk x mendekati 0 adalah seperti pada tabel berikut.

W1siZiIsIjIwMTUvMDMvMDIvMjMvMTIvMjEvNTQyLzQ2LnBuZyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ Limit Fungsi Trigonometri

Dari tabel tersebut, tampak bahwa nilai fungsi f(x)=sinxx mendekati 1 jika x mendekati 0 baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Ini berarti limx0sinxx=1.

Rumus limx0sinxx=1 dapat juga kamu buktikan secara geometri seperti berikut.

Coba perhatikan gambar lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari r satuan dengan besar ∠AOP = x radian, 0 < x < π2.

W1siZiIsIjIwMTUvMDMvMDIvMjMvMTIvMjEvNTQyLzQ2LnBuZyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ Limit Fungsi Trigonometri

Dari gambar tersebut, pada segitiga OPR didapat PR = r sin x, sedangkan pada segitiga OQAdidapat QA = OA . tan x = r tan x.

Luas segitiga OPA < luas juring OPA < luas segitiga OQA.

12.OA.PR < 12.xr2 < 12.OA.QA

r . PR < x . r2 < r . QA

PR < x . r < QA

Mari substitusi PR = r sin x dan QA = r tan x, sehingga didapat:

r sin x < x . r < r . tan x

sin x < x < tan x

Oleh karena 0 < x < π2, maka sin x > 0. Dengan demikian, kalian dapat membagi ketiga ruas pertidaksamaan dengan sin x tanpa merubah tanda pertidaksamaan.

sinxsinx<xsinx<tanxsinx

1<xsinx<1cosx

Untuk x mendekati 0, pertidaksamaan ini menjadi:

limx01<limx0xsinx<limx01cosx

1<limx0xsinx<1

Jadi, nilai limx0xsinx=1 atau limx0sinxx=1.

Selain limit fungsi sinus, terdapat pula limit fungsi kosinus, yaitu limx01cosxx=0 dan limit fungsi tangen, yaitu limx0tanxx=1.

Limit Fungsi Trigonometri

  • limx0xsinx=1 atau limx0sinxx=1
  • limx0tanxx=1 atau limx0xtanx=1
  • limx01cosxx=0

 

▬ Contoh ▬

Tentukan limx0sin2xtan3x.

Penyelesaian:

Oleh karena x → 0, maka 2x → 0 dan 3x → 0. Selain itu, kamu juga dapat menuliskan

W1siZiIsIjIwMTUvMDMvMDIvMjMvMTIvMjEvNTQyLzQ2LnBuZyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ Limit Fungsi Trigonometri

Apakah kalian telah paham tentang limit fungsi trigonometri? Agar pemahaman kalian bertambah, yuk kerjakan latihan soal yang ada.

Limit Fungsi Trigonometri | Admin | 4.5